Angeblich ist das zwar keine garantie, dass man die Klausur besteht, wenn man die Aufgaben von dem Tutorium hier lernt, aber ich stell sie mal trotzdem rein:

Aufgabe 1: Leiten Sie

  (P→(Q→R))→P→(S→Q)→(S→R) her:

(am besten, man zersetzt das ganze mal, da können die Klammern auch sehr hilfreich sein)

Annahme u1: P→(Q→R
Annahme u2: P
Annahme u3: S→Q
Annahme u4: S

  u1: P→(Q→R)       u2: P             u3: S→Q     [u4:S]
  --------------------------------- →-      -------------------------→-
                Q→R                                            Q
              ---------------------------------------------------------- →-
                                                 R
                                          -------------- →+u4
                                              S→R


Aufgabe 2: Gegeben ist max: N→N→N durch

                max(0,m)   =   m
                max(n,0)    =    n
           max(Sn,,Sm)  =   S(max(n,m)).

Zeigen Sie, dass "für alle m,n(max(m,n) = max(n,m)):

(Hinweis, warum hier Induktion: dieses "max" ist induktiv definiert"; Ausserdem meinte die Tutorin, dass man am besten bei der Induktion über die Variable anfängt, die als erstes bei "für alle" dasteht, in diesem falle hier m..."

Basis: m=0,

     max(0,n) = max (n,0)
           n                  n             (nach Definition)

Schritt: Sm

aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich:

 "für alle m" (max(Sm,n) = max (n,Sm))

  Fallunterscheidung:

 1.Fall: n=0:  max(Sm,0) = max(0,Sm)
                              Sm              Sm               (nach Definition)


  2. Fall: n=Sn:
     
                    max(Sm,Sn) = max(Sn,Sm)
                    S(max(m,n))     S(max(n,m))    (nach Definition)
                        max(m,n)   =    max(n,m)       (nach IV)


Aufgabe 3:

Seien m,n element N und R definiert auf NkreuzN durch

   R(n,m):= "es gibt k element N" (m*n = k² )

Ist R eine Äquivalenzrelation? Begründen Sie Ihre Antwort!

(Die Äqzivalenzrelation lässt sich beweisen, indem man nacheinander Reflexivität, Symmetrie und Transitivität beweist)

1) Reflexivität:

   "für alle m" R(m,m) =
    "für alle m"("es gibt k element N" m*m = k² )

       (da m*m=m², ist m²=k², was aufgehen kann, wenn m=k)
  
   also ist R reflexiv!

2. Symmetrie:

   "für alle m,n" (R(m,n) → R(n,m))

   "für alle m,n"(("gibt es k" m*n=k²   → ("es gibt k" n*m=k²

    aufgrund der Kommutativität ist R auch symmetrisch!

3. Transitivität:

   "für alle m,n,p"(R(m,n)→R(n,p)R(m,p))

   "es gibt k element N" m*n = k²
   
"es gibt k element N"  n*p = (k1)²
   
"es gibt k element N" m*p = (k2)²

   m*n=k²
    n*p=(k1)²    (Die beiden zusammen multipliziert)
  ---------------

   m*n²*p = k²*(k1)² ↔ m*p = (k²*(k1)² /n²
  ↔ m*p = ((k*k1)/n)²
        m*p = (k2)²         

    (wenn k2= (k*k1)/n und k2 element N)

Somit ist R auch transitiv, also insgesamt eine Äquivalenzrelation!

Aufgabe 4:

Sei Z4 := {0,1,2,3} und (+):Z4→Z4 definiert durch:

   n (+) m := (n+m) mod4

d.h., n(+) m gibt den Rest von Division von m+n durch 4 (z.B. 2(+)3=1).

Zeigen Sie, dass (Z4,(+)) eine abelsche Gruppe ist:

(Um die abelsche Gruppe zu zeigen, muss man Assoziativität, das neutrale Element, die inversen Elemente und die Kommutativität zeigen. Hilfreich ist dabei, eine Tabelle zu erstellen.)